Знайти область визначення функції
In[]:=
FunctionDomain[(x+y)/(x^2-y^2),{x,y}]
Out[]=
2
x
-
2
y
≠0
In[]:=
Reduce[x^2-y^2<0||x^2-y^2>0,{x,y}]
Out[]=
x∈&&y<-
2
x
||-
2
x
<y<
2
x
||y>
2
x

In[]:=
RegionPlot[%14,{x,-10,10},{y,-10,10}]
Out[]=
In[]:=
FunctionDomain[Sqrt[x^2-y^2],{x,y}]
Out[]=
2
x
-
2
y
≥0
In[]:=
Reduce[x^2-y^2≥0||x^2-y^2>0,{x,y}]
Out[]=
x<0&&-
2
x
≤y≤
2
x
||(x0&&y0)||x>0&&-
2
x
≤y≤
2
x

In[]:=
RegionPlot[
2
x
-
2
y
≥0,{x,-10,10},{y,-10,10}]
Out[]=
Знайти повторну та подвійну границю
​
In[]:=
Limit[Sin[xy]/(xy),{x,y}{0,0}]
Out[]=
1
In[]:=
Limit[Sin[xy]/y,{x,y}{Pi/2,5}]
Out[]=
1
5
In[]:=
Limit[Sin[xy]/x,{x,y}{0,0}]
Out[]=
0
In[]:=
Limit[x/y,{x,y}{0,0}]
Out[]=
Indeterminate
In[]:=
Limit[(x+y)/(x^2+y^2),{x,y}{0,0}]
Out[]=
Indeterminate
In[]:=
Limit[Sin[xy]/y,{x0,y0}]
Out[]=
0
In[]:=
Limit[Sin[xy]/y,{y0,x∞}]
Out[]=
Indeterminate
In[]:=
Limit[(x+y)/(x^2+y^2),{x0,y0}]
Out[]=
Indeterminate
Знайти часткові похідні та повні диференціали​
​
In[]:=
D[2x^8-3y^4+xy,x]
Out[]=
16
7
x
+y
In[]:=
D[2x^8-3y^4+xy,y]
Out[]=
x-12
3
y
In[]:=
D[2x^8-3y^4+xy,x,x]
Out[]=
112
6
x
In[]:=
D[2x^8-3y^4+xy,x,y]
Out[]=
1
In[]:=
Dt[Sin[x^2y+yx^2]]
Out[]=
Cos[2
2
x
y](4xyDt[x]+2
2
x
Dt[y])
Знайти градієнт функції​
​
In[]:=
Grad[ArcTan[x^2+y^2],{x,y}]
Out[]=

2x
1+
2
(
2
x
+
2
y
)
,
2y
1+
2
(
2
x
+
2
y
)

In[]:=
%/.{x,y}{1,2}
Out[]=

1
13
,
2
13

In[]:=
Grad[ArcTan[x^2+ay^2],{x,y}]
Out[]=

2x
1+
2
(
2
x
+a
2
y
)
,
2ay
1+
2
(
2
x
+a
2
y
)

In[]:=
%46/.x1
Out[]=

2
1+
2
(1+a
2
y
)
,
2ay
1+
2
(1+a
2
y
)

In[]:=
%/.y2
Out[]=

2
1+
2
(1+4a)
,
4a
1+
2
(1+4a)

Формула Тейлора
In[]:=
Series[(xy)/(x^2+y^2+2),{x,0,5},{y,0,5}]
Out[]=
y
2
-
3
y
4
+
5
y
8
+
6
O[y]
x+-
y
4
+
3
y
4
-
3
5
y
16
+
6
O[y]
3
x
+
y
8
-
3
3
y
16
+
3
5
y
16
+
6
O[y]
5
x
+
6
O[x]
Найбільше та найменше значення функції
In[]:=
Maximize[(xy)/(x^2+y^2),{x,y}]
Out[]=

1
2
,{x-1,y-1}
In[]:=
Minimize[(xy)/(x^2+y^2),{x,y}]
Out[]=
-
1
2
,{x-1,y1}
In[]:=
Plot3D[(xy)/(x^2+y^2),{x,-3,3},{y,-3,3}]
Out[]=
Найбільше та найменше значення в замкненій області (2 способи)
Дослідити на локальний екстремум

In[]:=
LocalExtrema [3(x^2+y^2)-x^3+4 y, {x,y}]

In[]:=
LocalExtrema[-x-y,{x,y}]
Задача на умовний екстремум
Обчислити градієнт функції