In[]:=
m=NSum[(-1)^n(n^(1/n)-1),{n,1,Infinity},Method"AlternatingSigns",WorkingPrecision6000];
In[]:=
MRBAbucus[p_]:=Module[{a,b,c,x,k,n},a[x_]:=2(x-1)/b[x,1];b[x_,k_]:=x^2+1-c[x,k];c[x_,k_]:=N[(((k)^2x^2-1)(x-1)^2),p]/((2k+1)x(x+1)-If[k<p,c[x,k+1],0]);N[Block[{$RecursionLimit=Max[{10^10,p}]},m-NSum[(-1)^na[n],{n,1,10^p},Method->"AlternatingSigns",WorkingPrecision->p]],50]];
MRBAbucus[x] for 1010<=x<=2000 in steps of 10
Table[MRBAbucus[10n],{n,101,120}]
Out[]=
{-2.3693950216667186581544152234283226035281496900017×,-7.5015375754077896711900362347533993640704301972137×,2.6608025548343022399078755152350532688600027839788×,-4.0495530657943429901074652907279842050201311114362×,7.2452538069221715709707595178458164035176768438175×,1.2885866142056011072096163997976399574969103021735×,-3.5258259659967755395238307141604423555873735232760×,4.0257979006760089053000584771700692180825105509405×,3.5364565208014503896796492717543719194839330488454×,-2.5156586869851172553019148334774488652701965881662×,4.9983556798407031817097885231877073442998475254271×,-2.2940205574553591286287810069621839792932633907206×,-1.5553630384613899025140802772120521766378647735745×,5.0316174768336352509402672332928949563196274928402×,-6.0602530924997408317359833889441934265389187560446×,-7.3666857092054621784431926566076175055259876101658×,4.7682324221206333323595721802727501059258256075392×,-8.9222983279227897392650873337638179625414591288720×,-3.1997864008622878009072559919915753208607781107173×,4.4810263736603755063245276920207096161856982950249×}
-265
10
-267
10
-268
10
-270
10
-273
10
-273
10
-275
10
-277
10
-279
10
-280
10
-282
10
-284
10
-285
10
-287
10
-289
10
-291
10
-292
10
-294
10
-298
10
-297
10
Table[MRBAbucus[10n],{n,121,140}]
Out[]=
{-1.1765572881155348643473943723440438164394309901491×,7.5659264577716428329376606336985759648820605162543×,4.2824681619551175525210163531156667928354270405376×,-1.5436990808666634407769291227462661264067487981910×,1.7049505293664210702665155447997186192959641927703×,4.2346813868255990005606924606825823661736675574066×,-2.1092768453118503176990384332075099172550603700424×,3.1040980440610891044809697446609489729288818277784×,4.4304869201018042534122290084721799251604493907483×,-3.0809198729174239257496237128474628093484312382378×,5.4346244929915587909209116894067654575165400330310×,5.1305981302340165926439881079304975538572910246857×,-4.8907298930939367468392740443725110441157295321035×,9.6507791656520693610007839497130214319609901598300×,7.1535910038837770899661202618020597202590915519000×,-8.5161649345165775261517369529709069303116023293902×,1.7729251355258843590792923389103960227501777856662×,1.3133249622453658831926739050296145515544608779584×,-1.6303458757222848039772239728166670777434957103082×,3.3820167299488891642850688288568511802022749269452×}
-298
10
-301
10
-302
10
-303
10
-305
10
-307
10
-308
10
-310
10
-312
10
-313
10
-315
10
-317
10
-318
10
-320
10
-322
10
-323
10
-324
10
-326
10
-327
10
-329
10
Table[MRBAbucus[10n],{n,141,160}]
Out[]=
{3.1708753877977932359116029499677916203030213775548×,-3.4158018039270438284897440473733768680841716124293×,6.6436333798991688048146654953290332856096556319145×,9.1749450542792887997810309228659478832079448756256×,-7.7496615497072869817013023465271689528697197000770×,1.3134796193648540641150958339974631795224829811680×,2.9131371746529931655974500068615290097748439567727×,-1.8747064683823291312860158302327671942998548229912×,2.4815147880886529578032542379774388157683317850690×,9.6751683519128098276072936293272108996322104104146×,-4.7398376078531958217976433953069898291014150958720×,3.8586121444609088126004578452315436679222214025909×,3.2852797474417560806673613545021545957217647229870×,-1.2197380683293042874782001758358216861709373655387×,1.2934496420453905149185979091990755642119132742810×,1.1245249364805597293199535760894821773213923166935×,-3.0671512075237974377304663354590958735809910088431×,-2.9909106198730888281730929797733465794045652820307×,3.8243049556345313317977994742973263769874163496115×,-6.9342719889286439358795292805917797278036014957254×}
-331
10
-332
10
-334
10
-336
10
-337
10
-338
10
-340
10
-341
10
-343
10
-345
10
-346
10
-348
10
-349
10
-350
10
-353
10
-353
10
-355
10
-357
10
-358
10
-360
10
Table[MRBAbucus[10n],{n,161,180}]
Out[]=
{-2.1080054290113346561370745578928273896633240511650×,1.2645556842979687816598638140833686040648793174091×,-1.0507381407628003639512525117201374665940892634128×,-1.0773381934257896644718116926077989278942947546535×,3.9051951837747221119987956149761500528720820519299×,1.7957498688005062755959388403947886018498518117312×,-4.7984212841195632481655291054129663305904926176132×,1.0212743866381889279474029581691343207631171994185×,2.8813031103279085394365705317854983086512742254254×,-1.9120528824686737399406254960691381591749562588289×,1.4545281803453221261921487907285372092020141387591×,1.9049729856326846115664938086742973222851901926991×,-6.5352056003812054875566952739069544036917455110119×,-6.8667525343789882221100253030741391438781013622779×,9.7846633607491787754369906212171365532860681990208×,-1.5739275729970987069699652615923614054951509489087×,-8.4961638564565479417134071682790024433075194357576×,4.1167068227471599813898994593489981077050986254142×,9.1065166102693929284192737812909935509474707398337×,-5.6373804244508772979032148049313894374668038946982×}
-361
10
-362
10
-364
10
-365
10
-367
10
-369
10
-370
10
-371
10
-373
10
-374
10
-376
10
-377
10
-379
10
-381
10
-382
10
-383
10
-385
10
-386
10
-389
10
-389
10
Table[MRBAbucus[10n],{n,191,191}]
Out[]=
{7.9919727759802749661208935389198173953881402447856×}
-405
10
That was MRBAbucus[1910]
MRBAbucus[1x] for some x>=2000
Table[MRBAbucus[n],{n,2000,3000,1000}]
Out[]=
{-3.2469383394040309669430646804983833900013234443934×,1.1062111760584975582037348330718353861725502406642×}
-417
10
-546
10
Table[MRBAbucus[n],{n,4000,6000,1000}]
Out[]=
{-6.8325092679061783963557762403999036568590968723042×,-2.1235118013910654685625535042493621782547606744535×,-2.1769864855526595464030460163467615754336614768986×}
-663
10
-768
10
-867
10